Présentation
Dr. Safieddine Bouali
Maître-assistant en Sciences Economiques,
Enseignant-chercheur depuis le 15 octobre 1990.
Safi@topnet.tn
Maîtrise puis D.E.A. es-Sciences Economiques, Faculté de Sciences Economiques de Tunis, 1989.
Doctorat en février 2001 à l'université de Rennes I, France.
Chargé de cours de Microéconomie et Qualité et Sécurité à l'Institut Supérieur de Gestion, Université de Tunis.
*Evaluateur scientifique (reviewer) au journal:
IEEE -Transactions on Circuits and Systems I. C'est une revue spécialisée dans la modélisation des systèmes non-linéaires électroniques.
*Membre du comité de rédaction de la revue:
Informations Economiques Africaines, mensuel édité à Tunis.
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Mes recherches m'ont conduit à l'étude du chaos déterministe en mettant en évidence une nouvelle classe d'attracteurs étranges. Une présentation rigoureuse se trouve dans Feedback Loop in Extended van der Pol's Equation Applied to an Economic Model of Cycles, publiée dans la revue International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 9, N°4 (1999), pp. 745-756.
Voici le papier au format PDF:
Bouali Safi-ChaosLes attracteurs sont "étranges" car leur topologie est sensible à une modification d'un ou plusieurs paramètres. Un attracteur est une trajectoire chaotique oscillatoire, non-périodique, dans un espace limité de l'espace des phases.
Etranges aussi par leur beauté mystérieuse !
Les attracteurs étranges, des objets tridimensionnels ? Plutôt des comportements mathématiques ! Représentations d'une dynamique déterministe qui ne peut être résumée par une fréquence donnée. Une oscillation, dans une portion de temps fini, ne se reproduira jamais à l'identique.
Dans cette page, nous présenterons notre propre travail de recherche qui a aboutit en une toute nouvelle classe d'atracteurs étranges 3D.
Orienté explicitement vers une présentation simple de ces dynamiques, avec très peu d'outils mathématiques, l'objectif poursuivi dans ce site est qu'un jeune étudiant puisse rapidement se familiariser avec le chaos déterministe.
Priorité: la vulgarisation de la théorie du chaos !
Ce site est dédié à à ces étonnantes créatures mathématiques que sont les attracteurs étranges de dimension 3.
Attracteurs de la Classe I, ( les deux images à gauche)
et ceux de la Classe II, ( à droite).
La présentation des attracteurs de la Classe I, issus du modèle de 1999, et ceux de la Classe II, liés au modèle établi en 2012, se fera dans la suite de cette page.
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CLASSE I:
Dans ce système, nous avons "connecté" une boucle rétroactive ( équation 3 ) à un oscillateur de van der Pol dans sa formulation étendue:
dx/dt = 0.02 y + 0.4 x ( 0.2 - y2 ) (1)
dy/dt = - x + s z (2)
dz/dt = 10 x - 0.1 y (3)
Simple mais si riche !
En effet, ce système à l'écriture aisée produit un spectre étendu de dynamiques selon la valeur du paramètre s . Voici l'un de ses résultats : un attracteur chaotique déployé dans l'espace des phases ( x, y, z ).
(a) tirage photo
(b) sortie imprimante
Fig.1. Attracteur étrange pour s = 0.2.
Lorsque le paramètre s est modifié, on obtient un attracteur à la morphologie nettement différente.
(a). Attracteur étrange pour s = 35.
(b). La modification des axes du graphique révèle sa structure interne
(c). Une facette différente de l'attracteur à chaque changement d'axe.
(d) . Le renversement des axes permet une autre visualisation.
(e) . L'attracteur chaotique est une trajectoire qui suit un drapage complexe.
Fig.2. L'attracteur étrange: Un objet mathématique non conventionnel.
(a) tirage photo
(b) sortie imprimante
Fig.3. Nouvel attracteur étrange pour s = 150 pour des Conditions initiales (x0, y0, z0 ) positives.
....et son animation aimablement réalisée par Jos Leys !
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Fig. 4. Encore pour s = 150,
mais avec des Conditions initiales (x0, y0, z0 ) négatives.
(b) photo numérique
(a) tirage imprimante
Fig.5. Avec cette valeur s = 150, deux attracteurs sont en position anti-symétrique
dans deux bassins d'attraction distincts.
NOUVEAU:
Sur le site "Images des Mathématiques", un article coécrit avec Jos Leys avec plusieurs ANIMATIONS:
Sculptures du chaos
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Et il suffit d'un rien pour que le modèle initial donne des figures différentes mais tout aussi étonnantes !
En effet, la solution de ce système 3D:
dR/dt = 0.01 P + 0.05 R ( 0.2 - P2 ) (I)
dP/dt = (R + F)/7.69 (II)
dF/dt = 0.13 R - 0.09 P (III)
peut être visualisé par des " coupes verticales" appelées Sections de Poincaré. Chaque trajectoire qui traverse un plan choisi dans l'espace des phases est enregistrée.
(a) Le plan (P, R) est traversé par la trajectoire. La dynamique 3D est "réduite" à une image 2D.
(b) Le plan (F, R) est traversé par la trajectoire. L'ensemble des points est une Section de Poincaré
Fig.6. Attracteur étrange en forme de nuage de points. Des volutées presque irréelles !
Fig. 7. Application du "premier retour".
La valeur de P à l'instant t+1 est reportée avec celle obtenue en t.
Fig.8. Application du "premier retour" de la variable R.
Cette recherche est développée dans notre papier:
"The Hunt Hypothesis and the Dividend Policy of the Firm.
The Chaotic Motion of the Profits"
http://arxiv.org/abs/nlin/0206032
( serveur de Los Alamos National Laboratory au Nouveau Mexique, USA).
Ce système nonlinéaire a été simulé pour identifier la dynamique d'une firme avec une gouvernance conflictuelle entre propriétaires et créanciers.
L'intitulé de l'article:
Targeting Fixed Reinvestment Rate: A "Strange" Path to Financial distress,
in Corporate Ownership & Control, 2009, Vol. 7, issue 2, (continued-2-), pp. 311-318.
Strange fait bien sûr référence à une dynamique chaotique étrange...
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Nouveau !
Notre système dynamique chaotique a été implémenté dans un circuit électronique.
Fig. A. Schéma électronique de l'oscillateur
Application effectuée avec une équipe italienne de l'Université de Catane, Italie.
Fig. B. Ecran de l'oscilloscope. Signal émis par l'oscillateur éléctronique
L'article sera publié dans la revue Nonlinear Analysis: Real World Applications:
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CLASSE II:
Un nouveau modèle chaotique 3D :
dx/dt = x (4 – y) + 0.3 z [I]
dy/dt = - y (1 – x ²) [II]
dz/dt = - x (1.5 – s z) – 0.05 z [III]
Modèle paramètré avec s.
Fig. I. Nouvel attracteur étrange
avec paramètrage s0= 1.
(a) vue de gauche (b) vue frontale
Fig. II. Le paramètre s est modifié: s1 = 6.
L'attracteur chaotique apparaît
avec une seule aile et une boucle très étirée
Pré-print de l'article: A Novel Strange Attractor with a Stretched Loop
téléchargeable sur ArXiv.org (Download: PDF only)
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