Présentation

Dr. Safieddine Bouali

Maître-assistant en Sciences Economiques,

Enseignant-chercheur depuis le 15 octobre 1990.
Safi@topnet.tn

Maîtrise puis D.E.A. es-Sciences Economiques, Faculté de Sciences Economiques de Tunis, 1989.

Doctorat en février 2001 à l'université de Rennes I, France.

Chargé de cours de Microéconomie et Qualité et Sécurité à l'Institut Supérieur de Gestion, Université de Tunis.

*Evaluateur scientifique (reviewer) au journal:

IEEE -Transactions on Circuits and Systems I. C'est une revue spécialisée dans la modélisation des systèmes non-linéaires électroniques.

*Membre du comité de rédaction de la revue:

Informations Economiques Africaines, mensuel édité à Tunis.

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Mes recherches m'ont conduit à l'étude du chaos déterministe et j'ai mis en évidence une nouvelle classe d'attracteurs étranges. Une présentation rigoureuse se trouve dans Feedback Loop in Extended van der Pol's Equation Applied to an Economic Model of Cycles, publiée dans la revue International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 9, N°4 (1999), pp. 745-756.

Voici le papier au format PDF:

Bouali Safi-Chaos

Les attracteurs sont "étranges" car ils  résument des trajectoires chaotiques non-périodiques dans un espace limité de l'espace des phases.

Etranges aussi par leur beauté mystérieuse .

Les attracteurs étranges, des objets tridimensionnels ? Plutôt des comportements mathématiques ! Représentations d'un large spectre de dynamiques déterministes. 

Dans cette page, nous présenterons notre propre travail de recherche qui a aboutit en une toute nouvelle classe d'atracteurs étranges 3D.

Orienté explicitement vers une présentation simple de ces dynamiques, avec très peu d'outils mathématiques, l'objectif poursuivi dans ce site est qu'un jeune étudiant puisse rapidement se familiariser avec le chaos déterministe.

Priorité: la vulgarisation de la théorie du chaos !

Ce site est donc dédié à à ces étonnantes créatures mathématiques que sont les attracteurs étranges de dimension 3.

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Dans ce système, nous avons "connecté" une boucle rétroactive ( équation 3 )  à un oscillateur de van der Pol dans sa formulation étendue:

                              dx/dt = 0.02 y + 0.4 x ( 0.2 - y² )                   (1)

                              dy/dt = - x + s z                                              (2)

                              dz/dt = 10 x -  0.1 y                                       (3)

Simple mais si riche !

En effet, ce système à l'écriture aisée produit un spectre étendu de dynamiques selon la valeur du paramètre s . Voici l'un de ses résultats : un attracteur chaotique déployé dans l'espace des phases ( x, y, z ).

(a) tirage photo

(b) sortie imprimante 

Fig.1. Attracteur étrange pour s = 0.2.

Lorsque le paramètre s est modifié, on obtient un attracteur à la morphologie nettement différente.

(a). Attracteur étrange pour s = 35.

(b). La modification des axes du graphique révèle sa structure interne

 (c). Une facette différente de l'attracteur à chaque changement d'axe.

(d) . Le renversement des axes permet une autre visualisation.

  Fig.2. L'attracteur étrange: Un objet mathématique non conventionnel.

  Fig.2 (e) . L'attracteur chaotique est une trajectoire qui suit un drapage complexe.

 (a) tirage photo

(b) sortie imprimante 

Fig.3. Nouvel attracteur étrange pour s = 150 pour des Conditions initiales (x₀, y₀, z₀ ) positives.

Voici une animation aimablement réalisée par Jos Leys

Bouali_draw_02.mov

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Fig.4. Toujours pour s = 150 mais avec des Conditions initiales (x₀, y₀, z₀ ) négatives.

Fig.5. Avec cette valeur s = 150, deux attracteurs sont en position anti-symétrique

dans deux bassins d'attraction distincts.  

NOUVEAU:

Sur le site "Images des Mathématiques",

un article coécrit avec Jos Leys

est illustré avec plusieurs ANIMATIONS

( cliquer ici) 

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Et il suffit d'un rien pour que le modèle initial donne des figures différentes mais tout aussi étonnantes !

En effet, la solution de ce système 3D:

                              dR/dt = 0.01 P + 0.05 R ( 0.2 - P² )                   (I)

                              dP/dt = (R + F)/7.69                                          (II)

                              dF/dt = 0.13 R -  0.09 P                                    (III)

peut être visualisé par des " coupes verticales" appelées Sections de Poincaré. Chaque trajectoire qui traverse un plan choisi dans l'espace des phases est enregistrée.

 (a) Le plan F est traversé par la trajectoire. La dynamique 3D est reportée sur le plan (P, R)

(b) Le plan P est traversé par la trajectoire. La dynamique 3D est reportée sur le plan (F, R)

 Fig.6. Attracteur étrange en forme de nuage de points. Des volutés presque irréelles !

 Fig.7. Application du "premier retour".

La valeur de P à l'instant t+1 est reportée avec celle obtenue en t. 

 Fig.8. Application du "premier retour" de la variable R. 

Cette recherche est développée dans notre papier:

"The Hunt Hypothesis and the Dividend Policy of the Firm.

The Chaotic Motion of the Profits"

arXiv:nlin/0206032

http://arxiv.org/abs/nlin/0206032

 ( serveur de Los Alamos National Laboratory au Nouveau Mexique, USA).

Ce système nonlinéaire a été simulé pour identifier la dynamique d'une firme avec une gouvernance conflictuelle entre propriétaires et créanciers.

L'intitulé de l'article:

Targeting Fixed Reinvestment Rate: A "Strange" Path to Financial distress,

in Corporate Ownership & Control, 2009, Vol. 7, issue 2, (continued-2-), pp. 311-318.

Strange fait bien sûr référence à une dynamique chaotique étrange...